Question

7．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图（图1）：

（Ⅰ）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	60
捐款不超 过500元		10
合计

附：临界值表

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024

随机量变${K^2}=\frac{{（a+b+c+d）{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，求出K²，得到有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$）．由此能求出ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	60	20	80
捐款不超 过500元	10	10	20
合计	70	30	100

${K^2}=\frac{{100×{{（60×10-10×20）}^2}}}{80×20×70×30}=4.762$．
因为4.762＞3.841，p（k≥3.841）=0.05．
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．    …（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．
由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，…（5分）ξ～B（3，$\frac{3}{10}$）．
$P（{ξ=0}）=C_3^0{（{\frac{3}{10}}）^0}{（{\frac{7}{10}}）^3}=\frac{343}{1000}$，…（6分）$P（{ξ=1}）=C_3^1{（{\frac{3}{10}}）^1}{（{\frac{7}{10}}）^2}=\frac{441}{1000}$，…（7分）$P（{ξ=2}）=C_3^2{（{\frac{3}{10}}）^2}{（{\frac{7}{10}}）^1}=\frac{189}{1000}$，…（8分）$P（{ξ=3}）=C_3^3{（{\frac{3}{10}}）^3}{（{\frac{7}{10}}）^0}=\frac{27}{1000}$，…（9分）
从而ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

…（10分）$E（ξ）=np=3×\frac{3}{10}=0.9$，…（11分）$D（ξ）=np（1-p）=3×\frac{3}{10}×\frac{7}{10}=0.63$…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．