Question

如图，F₁，F₂分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF₂|=|F₁F₂|，则C的离心率是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF₂|=|F₁F₂|，即可求得C的离心率．
解答：|OB|=b，|O F₁|=c．∴k_PQ=，k_MN=-．
直线PQ为：y= （x+c），两条渐近线为：y=x．
由，得Q（ ）；由得P．
∴直线MN为，
令y=0得：x_M=．
又∵|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴3c=x_M=，
∴3a²=2c²
解之得：，即e=．
故选B．
点评：本题考查双曲线的几何形状，考查解方程组，考查学生的计算能力，属于中档题．