Question

14．已知函数f （x）=ln x和g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+a（其中a为常数），直线l与f （ x ） 和g （x） 的图象都相切，且与f （x） 的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求l的方程和a的值；  
（Ⅱ）求证：关于x 的不等式f （ x²+1）≤ln 2+g （x） 的解集为R．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用l与f （x）图象相切的切点为（1，0），求出导函数f′（x）=$\frac{1}{x}$，得到切线斜率k_l=1，求出l方程，利用直线与抛物线联立，判别式为0，求解a即可．
（Ⅱ）记h（x）=f （ x²+1）-g（x）-ln2 化简，然后求出导函数，通过h'（x）＜0，h'（x）＞0，得到单调区间，求出极值和最值，即可得到不等式f （ x²+1）≤ln2+g（x） 的解集．

解答 解：（Ⅰ）依题意，l与f （x）图象相切的切点为（1，0），函数f （x）=ln x，可得f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴k_l=1，从而l：y=x-1…3’； 
又$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x^2}+a\\ y=x-1\end{array}\right.⇒$x²-2x+2a+2=0，判别式△=4-8a-8=0  $⇒a=-\frac{1}{2}$…6’．
（Ⅱ）记h（x）=f （ x²+1）-g（x）-ln2…7’，
则h（x）=ln （ x²+1）-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$-ln2 （x∈R）…8’，
$h'（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}-x=\frac{{x-{x^3}}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{-（x+1）x（x-1）}{{{x^2}+1}}$，
令h'（x）＜0，得（x+1）x（x-1）＞0，即-1＜x＜0或x＞1；
令h'（x）＞0，得（x+1）x（x-1）＜0，即x＜-1或0＜x＜1，
可见x=-1及x=1时偶函数h（x）取得极大值…10’，也是最大值，h_max（x）=h（±1）=0，
∴h（x）≤0在R上恒成立，即不等式f （ x²+1）≤ln2+g（x） 的解集为R…12’．

点评 本题考查函数与导数的综合应用，函数的最值以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．