Question

16．已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上无零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为x∈（0，$\frac{1}{3}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； 
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，$\frac{1}{3}$）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上无零点，
只要对任意的x∈（0，$\frac{1}{3}$），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，$\frac{1}{3}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立．                                          
令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$），
则h′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
再令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{3}$），
则m′（x）=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上为减函数，
于是，m（x）＞m（$\frac{1}{3}$）=4-3ln3＞0，
从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上为增函数，
所以h（x）＜h（$\frac{1}{3}$）=2-3ln3，
∴a的取值范围为[2-3ln3，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．