Question

18．若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：
①函数y=f（x）在D内为单调函数；
②存在实数m，n∈D，m＜n，当x∈[m，n]时，函数y=f（x）的值域为[m，n]，则称此函数f（x）在D内为等射函数，设函数f（x）=$\frac{{{a^x}+a-3}}{lna}$（a＞0，a≠1），
则：
（1）函数y=f（x）在（-∞，+∞）上的单调性为递增（填“递增”“递减”“先增后减”“先减后增”）
（2）当y=f（x）在实数集R内等射函数时，a的取值范围是（0，1）∪（1，2） ．

Answer 1

分析 （1）对函数求导可得f′（x）=a^x＞0，故函数为单调增函数．
（2）根据题意m，n是方程$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$=x 的两个根．构建函数g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x，则函数g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x 有两个零点，令g′（x）=a^x-1，分类讨论，确定a的范围．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\frac{{{a^x}+a-3}}{lna}$（a＞0，a≠1），
求导可得f′（x）=a^x＞0，故函数为单调增函数，
故函数y=f（x）在（-∞，+∞）上的单调性为递增．
∵存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．
∴f（m）=m，f（n）=n，∴m，n是方程$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$=x 的两个根．
构建函数g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x，则函数g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x 有两个零点，令g′（x）=a^x-1．
①0＜a＜1时，g′（x）=a^x-1在（-∞，0）上大于零，故函数的单调增区间为（-∞，0），
g′（x）=a^x-1在（0，+∞）上小于零，故单调减区间为（0，+∞）．
∵g（0）＞0，∴函数有两个零点，故满足题意．
②a＞1时，g′（x）=a^x-1在（-∞，0）上小于零，函数的单调减区间为（-∞，0），
g′（x）=a^x-1在（0，+∞）上大于零，故单调增区间为（0，+∞）．
要使函数有两个零点，则g（0）＜0，∴$\frac{1+a-3}{lna}$＜0，∴a＜2，∴1＜a＜2．
综上可知，a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．
故答案为：（1）递增；（2）（0，1）∪（1，2）．

点评 本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确理解新定义是关键，属于难题．