Question

已知．

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围；

（3）当,时,求证： ．

 

Answer 1

（1）函数在区间（0,1）上为增函数；在区间为减函数；（2）；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出，从而得函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令，得函数 g（x）取得最小值g（1）=k-1，由有实数解，k-1≤1，进而得实数k的取值范围．（Ⅲ）由，得，从而 ，即，问题得以解决．

试题解析：解：（1）,∴

∴当时,；当时,；

∴函数在区间（0,1）上为增函数；在区间为减函数 4分

（2）由（1）得的极大值为,令,

所以当时,函数 取得最小值,

又因为方程有实数解,那么, 即,

所以实数的取值范围是：． 8分

（3）函数在区间为减函数,而,

∴∴,即

即,而,

∴结论成立． 12分．

考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．导数在最大值、最小值问题中的应用．