题目内容

如图已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为 $数学公式$ 的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且 $数学公式$ ，求△GOH面积的最小值；
（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x-1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，即p=2，
∴所求抛物线的方程为y²=4x--------------------------------（2分）
∴设圆的半径为r，则 $\text{[math]}$ ，∴圆的方程为（x-2）²+y²=4．--------------（4分）
（2）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0得x₁x₂+y₁y₂=0，
∵ $\text{[math]}$ =4x₁， $\text{[math]}$ =4x₂，
∴x₁x₂=16，--------------------------------（6分）
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ +4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂]
≥ $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ +4x₁x₂•2 $\text{[math]}$ +16x₁x₂]
=256
∴ $\text{[math]}$ ≥16，当且仅当x₁=x₂=2时取等号，
∴△GOH面积最小值为16．-------------------------------------------（9分）
（3）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x₀，y₀）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在抛物线C上，
∴ $\text{[math]}$ =4x₃， $\text{[math]}$ =4x₄，
两式相减得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=4（x₃-x₄）--------------------------------（11分）
∴y₃+y₄=4• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-4k，
∴y₀=-2k
∵D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上
∴x₀=-1＜0，点D（x₀，y₀）在抛物线外--------------------------------（13分）
∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．--------------------------（14分）
分析：（1）由|AO|=2， $\text{[math]}$ =OAcos60°可求得p，从而可求得抛物线C的方程；继而可求得圆M的半径r，从而可求其方程；
（2）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0得x₁x₂+y₁y₂=0，由 $\text{[math]}$ =4x₁， $\text{[math]}$ =4x₂，可求得x₁x₂=16，利用三角形的面积公式，结合基本不等式即可求得△GOH面积的最小值；
（3）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x₀，y₀），利用P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在抛物线C上， $\text{[math]}$ =4x₃， $\text{[math]}$ =4x₄，两式相减可求得y₀=-2k，最后利用D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上即可知点D（x₀，y₀）在抛物线外，从而可得答案．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，考查基本不等式及点差法，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于难题．