Question

一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③若规定对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的是________．

Answer 1

解：∵f（-x）==-f（x），∴f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，当x＞0时，
f（x）=，∵x＞0，∴，∴1+，∴，又x＞0，∴0＜f（x）＜1，
又函数f（x）是奇函数，所以x＜0，-1＜f（x）＜0，所以∈x（-1，1），故命题①不正确．
设x₁＞x₂＞0，则 f（x₁）-f（x₂）===，
∵x₁＞x₂＞0∴，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，因为f（x）为奇函数，所以f（x）在
（-∞，+∞）上位增函数，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），故命题②正确．
由f₂（x）=f（f₁（x））==．
==．
．
所以f_n（x）=f（f_n-1（x）），所以对任n∈N^*恒成立．
故答案为②③．
分析：命题①先求出在x＞0时的函数值域，根据奇函数的性质，进一步求的函数在给定定义域内的值域；命题②判断函数在定义域内是单调函数；命题③若对任意n∈N^*恒成立，则，验证是否有f_n（x）=f（f_n-1（x））成立．
点评：前两个命题考查函数的基本性质，属于基本问题，第三个命题的判断具有开放性，特别是用f_n-1（x）代换f_n（x）中的x易出错，属于中难度问题．