题目内容
10．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若sinA＞sinB，则B＞A；
②若△ABC最小内角为α，则cosα≥$\frac{1}{2}$；
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow 0$，则△ABC的最小角小于$\frac{π}{6}$；
其中正确的命题是②④（写出所有正确命题的序号）
分析 ①根据正弦定理进行判断即可；
②根据三角形的内角关系以及余弦函数的取值范围进行判断；
③由两角和的正切公式，推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，从而推断③；
④将$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，化简整理运用不共线结论，得到2a=b=c，再运用余弦定理求出cosA，即可判断．
解答 解：①若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，则A＞B；故①错误，
②若△ABC最小内角为α，则α≤60°，即cosα≥$\frac{1}{2}$成立；故②正确，
③在斜三角形中，由tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-tanC，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC＞0，即tanAtanBtanC＞0，即A，B，C均为锐角，故③不正确；
④若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即2a（$\overrightarrow{AC}-\overline{AB}$）$-b\overrightarrow{AC}+c\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$，即（2a-b）$\overrightarrow{AC}$=（2a-c）$\overrightarrow{AB}$，由于$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}$不共线，故2a-b=2a-c=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$，故最小角小于$\frac{π}{6}$，故④正确；
故答案为：②④
点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．
| A． | -$\frac{4\sqrt{2}}{9}$ | B． | $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ | C． | -$\frac{7}{9}$ | D． | $\frac{7}{9}$ |
| A． | $\frac{8}{3}$ | B． | $\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$ | C． | $\frac{2\sqrt{5}}{3}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
| A． | -7 | B． | 7 | C． | -28 | D． | 28 |
| A． | f（x） | B． | -f（x） | C． | -g（-x） | D． | g（-x） |
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{7}$ | C． | 1 | D． | 0 |