题目内容

14．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则该四棱锥的外接球的体积为（　　）
A．$\frac{4\sqrt{2}}{3}$πB．$\frac{8\sqrt{2}}{3}$πC．$\frac{32\sqrt{2}}{3}$πD．$\frac{64\sqrt{2}}{3}π$

分析 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积．

解答 解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，
由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．
则AB=$\sqrt{2}$r，
四棱锥的体积为$\frac{1}{3}×（\sqrt{2}r）^{2}×r$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得r=$\sqrt{2}$，
四棱锥的外接球的体积为：V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
故选：B．

点评 本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．

练习册系列答案
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16．△ABC中．设$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\sqrt{3}$，则c=$\sqrt{7-2\sqrt{3}}$．
5．设函数f（x）=（ax+1）e-x（a∈R）
（Ⅰ）当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求实数a的取值范围．
2．（1）已知0＜x1＜x2，求证：$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}＞\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（2）已知f（x）=lg（x+1）-$\frac{1}{2}$log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2-214n-1998）≥0，n∈Z}的子集个数．
9．定义在（0，+∞）上的函数f（x），总有f′（x）＞f（x）+ex-lnx成立，且f（2）=e2-2，则不等式f（x）≥ex-2的解集为[2，+∞）．
19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow{b}$=（-5，5），$\overrightarrow{c}$=（2，k）
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）若$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$，求k的值；
（3）若$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），求k的值．
6．已知直线l1：y=k（x+1）-1（k∈R）
（Ⅰ）证明：直线l1过定点；
（Ⅱ）若直线l1与直线l2：3x-（k-2）y+2=0平行，求k的值并求此时两直线间的距离．
3．已知tanα=2，求：
（1）$\frac{{sin（π-α）cos（2π-α）sin（-α+\frac{3π}{2}）}}{tan（-α-π）sin（-π-α）}$；
（2）2sin2α-3sinαcosα-1．
4．已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O-ABC的体积为$\frac{4}{3}$，则球O的表面积为（　　）
A．$\frac{16π}{3}$B．16πC．$\frac{32π}{3}$D．32π

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