Question

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知$\frac{4b}{3cosB}$=$\frac{c}{sinC}$，若a+c=1，则b的最小值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知等式结合正弦定理求得tanB，进一步求出cosB的值，然后由余弦定理结合基本不等式求得b．

解答 解：在△ABC中，由$\frac{4b}{3cosB}$=$\frac{c}{sinC}$，得$\frac{4sinB}{3cosB}=\frac{sinC}{sinC}=1$，
∴tanB=$\frac{3}{4}$，则B为锐角，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinB}{cosB}=\frac{3}{4}}\\{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B=1}\end{array}\right.$，解得cosB=$\frac{4}{5}$．
又a+c=1，
∴${b}^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cosB={a}^{2}+{c}^{2}-2ac×\frac{4}{5}$=${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{8}{5}ac$
=$（a+c）^{2}-\frac{18}{5}ac$$≥（a+c）^{2}-\frac{18}{5}×\frac{（a+c）^{2}}{4}$=$1-\frac{18}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$．
∴$b=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，是中档题．