题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，且经过点D（1， $数学公式$ ）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求 $数学公式$ 的值
（3）求|PQ|的最小值．

解：（1）椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴b²= $\text{[math]}$ a² ①．
再由椭圆经过点D（1， $\text{[math]}$ ），可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ②．
由①②解得 a²=4，b²=3，故椭圆C的方程 $\text{[math]}$ ．
（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ， $\text{[math]}$ sinθ）．
∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，故可设p（4，y₁），Q（4，y₂）．
由题意可得 A、M、P三点共线，可得 K_AM=K_AP，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴y₁=3 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
再由M、B、P 三点共线，可得 K_BM=K_BQ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴y₂= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =（6，3 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ）．
∴ $\text{[math]}$ =（6，3 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）•（2， $\text{[math]}$ ）=12+3 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =12+9 $\text{[math]}$ =12-9=3，
即 $\text{[math]}$ =3．
（3）由（2）|y_p|•|y_q|=9，∴|PQ|=|y_p-y_q|=|y_p|+|y_q|≥2 $\text{[math]}$ =6，当且仅当|y_p|=|y_q|时等号成立，
故|PQ|的最小值为6．
分析：（1）根据椭圆C的离心率求得b²= $\text{[math]}$ a² ①，再由椭圆经过点P（1， $\text{[math]}$ ），可得 $\text{[math]}$ ②，由①②解得 a²=4，b²=3，从而求得椭圆C的方程．
（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），设M（2cosθ， $\text{[math]}$ sinθ），设p（4，y₁），Q（4，y₂），由 K_AM=K_AP，求出y₁，由 K_BM=K_BQ，求出y₂，从而得到 $\text{[math]}$ =（6，3 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ），即可由数量积公式计算 $\text{[math]}$ 的值．
（3）由（2）可得|y_p|•|y_q|=9，故|PQ|=|y_p-y_q|=|y_p|+|y_q|，利用基本不等式求出它的最小值．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用、基本不等式的应用，属于中档题．