Question

13．已知数列{a_n}是等比数列，数列{b_n}是等差数列，若${a_1}•{a_6}•{a_{11}}=-3\sqrt{3}，{b_1}+{b_6}+{b_{11}}=7π$，则$tan\frac{{{b_3}+{b_9}}}{{1-{a_4}•{a_8}}}$的值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由等差数列和等比数列的性质求出b₃+b₉，1-a₄a₈的值，代入$tan\frac{{{b_3}+{b_9}}}{{1-{a_4}•{a_8}}}$得答案．

解答 解：在等差数列{b_n}中，由b₁+b₆+b₁₁=7π，得3b₆=7π，${b}_{6}=\frac{7π}{3}$，
∴${b}_{3}+{b}_{9}=2{b}_{6}=\frac{14π}{3}$，
在等比数列{a_n}中，由${a}_{1}{a}_{6}{a}_{11}=-3\sqrt{3}$，得${{a}_{6}}^{3}=-3\sqrt{3}$，${a}_{6}=-\sqrt{3}$，
∴$1-{a}_{4}{a}_{8}=1-（-\sqrt{3}）^{2}=-2$，
则$tan\frac{{{b_3}+{b_9}}}{{1-{a_4}•{a_8}}}$=tan$\frac{\frac{14π}{3}}{-2}$=tan$（-\frac{7π}{3}）$=$-\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．