题目内容

如图，角α 的顶点在直角坐标原点、始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4）．角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x 轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ=-2．
（1）求角α 的正弦值；　
（2）求∠POQ的余弦值．

解：（1）依题意，角 $\text{[math]}$ 的顶点在直角坐标原点，始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4），…2
∴|OP|=5，…3
∴cos （ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，…5
∴sinα= $\text{[math]}$ ，即角α 的正弦值为 $\text{[math]}$ ．
（2）法一：cos∠POQ=cos（ $\text{[math]}$ -β）…8
=cos（ $\text{[math]}$ ）cosβ-sin（ $\text{[math]}$ ）sinβ…9
又cos （ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，sin（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ …10
∵tanβ=-2，β在第二象限，
∴sinβ= $\text{[math]}$ ，cosβ=- $\text{[math]}$ ，…11
∴cos∠POQ=（- $\text{[math]}$ ）×（- $\text{[math]}$ ）+（- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，…12
（2）法二：∵角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，
且tanβ=-2，
∴可在角β 的终边上取一点Q（-1，2）． …（8分）
∴ $\text{[math]}$ =（-1，2）， $\text{[math]}$ =（-3，-4），∠POQ是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角． …（9分）
$\text{[math]}$ …（10分）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（12分）
注：第（1）题以下解法给（3分），∵角α的终边经过点P（-3，-4），∴|OP|=5，∴ $\text{[math]}$ ，即角α 的正弦值为 $\text{[math]}$ ．第（2）题根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 计算全部正确的给（6分）．
分析：（1）由题意可求得cos （ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，从而可求得sin（α）的值；
（2）法一：利用∠POQ=（ $\text{[math]}$ ）-β，利用两角和的余弦公式，可求得cos∠POQ=cos（ $\text{[math]}$ -β）；
法二：由题意结合tanβ=-2，可在角β 的终边上取一点Q（-1，2）， $\text{[math]}$ =（-1，2）， $\text{[math]}$ =（-3，-4），∠POQ是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角，利用向量法即可求∠POQ的余弦值．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考察诱导公式及的作用及任意角的三角函数的定义，突出三角函数的综合应用，属于中档题．