Question

11．已知直线l₁：x=-4和直线l₂：3x+4y+18=0，P是抛物线y²=16x上的点，P到l₁、l₂距离之和最小时，P到直线l₂的距离是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 求得焦点坐标根据抛物线的定义可知：当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，求得DF的方程，代入抛物线方程，求得P点坐标，利用点到直线的距离公式即可求得P到直线l₂的距离．

解答 解：由抛物线y²=16x焦点为（4，0），
由抛物线的定义可知：丨PC丨=丨PF丨，
P到直线l₂的距离d为丨PD丨，
则丨PC丨+丨PD丨=丨PF丨+丨PD丨，
当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，最小值为丨FD丨=$\frac{丨12+0+18丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=6，
直线DF的斜率为$\frac{4}{3}$，DF的方程为：y=$\frac{4}{3}$（x-4），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}（x-4）}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=16}\\{y=16}\end{array}\right.$（舍去），
则P点坐标为（1，-4），
P到直线l₂的距离d=$\frac{丨3×1+4×（-4）+18丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
P到直线l₂的距离1，
故选A．

点评 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．