题目内容

6．设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是抛物线y2=4x上三点，F是抛物线的焦点且|AF|，|BF|，|DF|成等差数列．当AD的垂直平分线与x轴交于点T（3，0）时，求点B的坐标．

分析 由|AF|，|BF|，|DF|成等差数列，则2|BF|=|AF|+|DF|，即，从而问题可解．

解答 解：由|AF|，|BF|，|DF|成等差数列，则2|BF|=|AF|+|DF|，即2x2=x1+x3
直线AD斜率k=$\frac{{y}_{3}-{y}_{1}}{{x}_{3}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{1}}$．
所以y1+y3=$\frac{4}{k}$，设AD中点为（x2，$\frac{2}{k}$）
故AD的垂直平分线为y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-x2）
令y=0，得x=2+x2，∴x2=1，代入y2=4x得y=±2，故B（1，2）或B（1，-2）．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的方程，体现了整体运算思想方法，是中档题．

练习册系列答案
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