分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图:易知第三行有白圈5个.黑圈4个．我们采用“坐标来表示各行中的白圈.黑圈的个数．比如第一行记为.第三行记为(5.4)．照此规律.第n行中的白� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图：

易知第三行有白圈5个，黑圈4个．我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4）．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为（x_n，y_n），则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}}$=1．

分析根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的“坐标”；再根据前五行的白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可归纳第n行的白圈数，黑圈数，即可得出结论．

解答解：根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，
第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），第四行的白圈数为2×5+4=14；黑圈数为5+2×4=13，
∴第四行的“坐标”为（14，13）；
第五行的“坐标”为（41，40），
各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的白圈数为$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$，黑圈数为为$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$-1=$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{m-1}-1}$=1
故答案为：1．

点评本题考查了归纳推理的应用，多观察几组数据是发现规律的有效方法．