Question

一个公差不为零的等差数列{}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项．记{}各项和的值为S．
（1）求S （用数字作答）；
（2）若{b_n}的末项不大于，求{b_n}项数的最大值N；
（3）记数列{c_n}，c_n=b_n（n∈N*，n≤100）．求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

解：（1）设{}的公差为d（d≠0），
由b₁，b₃，b₅成等比数列，得b₃²=b₁b₅
（5+3d）²=5（5+15d）d=5．
所以=5n （n∈N*，n≤100 ）

（2）由b₁=5，b₂=20q²=4（q＞0），
所以q=2，b_n=52^n﹣1
由，
所以n的最大值为12．又b_n+1＞bn，
所以，n≥13时，
所以N=12．
（3）c_n=25n2^n﹣1，，
得﹣T_n=25（1+2+2²+…+2^n﹣1﹣n2ⁿ）=25[（1﹣n）2ⁿ﹣1]
T_n=25[（n﹣1）2ⁿ+1]（n∈N*，n≤100）