Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-a（x-lnx）．
（1）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导数的几何意义求解；
（2）求导，研究导函数的取值情况即可求解；
（3）问题等价于f′（x）=0在x∈（0，1）内有解，求导后分析其取值情况即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-（x-lnx），f（1）=e-1，
求导，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-1+$\frac{1}{x}$，则f′（1）=0，
∴切线方程为y=e-1．
（2）求导，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-a（1-$\frac{1}{x}$）=$\frac{（{e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，对于?x∈（0，+∞），e^x-ax＞0恒成立，
∴f′（x）＞0，x＞1；
f′（x）＜0，0＜x＜1，
∴单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（3）若f（x）在（0，1）内有极值，则f′（x）=0在x∈（0，1）内有解，
令f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，e^x-ax=0，a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（0，1），则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{x}$，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0恒成立，
g（x）单调递减，又g（1）=e，
又当x→0时，g（x）→∞，即g（x）在∈（0，1）上的值域为（e，+∞），
∴当a＞e时，f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$=0，
设H（x）=e^x-ax，则H′（x）=e^x-a，x∈（0，1），
∴H（x）在x∈（0，1）单调递减，
由H（0）=1＞0，H（1）=e-a＜0，
∴H（0）=0，在x∈（0，1），有唯一解x₀，

x	（0，x0）	x0	（x0，1）
H（x）	+	0	-
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴当a＞e时，f（x）在（0，1）内有极值且唯一，当a≤e时，当x∈（0，1），时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增，不成立，
综上，a的取值范围为（e，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查分类讨论思想及转化思想的应用，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．