Question

6．已知函数f（x）=1n（x+a）+$\frac{{x}^{2}}{2（x+a）}$，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线垂直直线x+y+1=0．
（1）求a的值及f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＜x．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线垂直直线x+y+1=0，求出a，即可得出f（x）的极值；
（2）令g（x）=f（x）-x，证明：x＞0时，g′（x）＜0，函数单调递减，即可证明结论．

解答 （1）解：∵f（x）=1n（x+a）+$\frac{{x}^{2}}{2（x+a）}$，
∴f′（x）=$\frac{x+2}{2x+2a}$，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线垂直直线x+y+1=0，
∴f′（0）=$\frac{1}{a}$=1，
∴a=1，
∴f′（x）=$\frac{x+2}{2x+2}$（x+1＞0），
∴x＞-1时，f′（x）＞0，函数单调递增，函数无极值；
（2）证明：令g（x）=f（x）-x，则g′（x）=$\frac{-x}{2x+2}$，
x＞0时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴g（x）＜g（0）=f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＜x．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查不等式的证明，属于中档题．