Question

（本小题满分14分）若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数）．

（1）求的极值；

（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1） 极小值为，无极大值；（2） 函数和存在唯一的隔离直线．

【解析】

试题分析：（1）由已知中函数h（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值;

（2）由（1）可知，函数h（x）和φ（x）的图象在（e）处相交，即和的隔离直线,寻么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程程为：y-e=k（x-）,即y=kx-k +e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程．

试题解析：（1） ，

．

当时，． ------3分

当时，，此时函数递减；

当时，，此时函数递增；

∴当时，取极小值，其极小值为．

（2）【解析】
由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．

由，可得当时恒成立．

， 由，得．

下面证明当时恒成立．

令，则

， 当时，．

当时，，此时函数递增；

当时，，此时函数递减；

∴当时，取极大值，其极大值为．

从而，即恒成立

∴函数和存在唯一的隔离直线．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值．