题目内容
4．已知函数f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|在R上存在零点．（1）求实数m的取值范围；
（2）当m为最小值时，若$\frac{1}{m\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2m\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3m\sqrt{c}}$=1，求证：$\frac{1}{9}$$\sqrt{a}$+$\frac{2}{9}$$\sqrt{b}$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{c}$≥$\frac{1}{4}$．
分析 （1）根据函数与方程之间的关系转化为方程有解问题，构造函数，利用绝对值的应用将函数表示成分段函数形式，求出函数的最小值即可得到结论．
（2）求出m的最小值，利用1的代换以及基本不等式进行证明即可．
解答 解：（1）由f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|在R上存在零点．
则等价为f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|=0有解，
即m=|2x+1|+|2x-3|在R上有解．
设g（x）=|2x+1|+|2x-3|，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-2，}&{x＞\frac{3}{2}}\\{4，}&{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2-4x，}&{x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，则函数f（x）的最小值为4，
则m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．
（2）由（1）知，m的最小值为4，则$\frac{1}{m\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2m\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3m\sqrt{c}}$=1等价为$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3\sqrt{c}}$=4，
则$\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3\sqrt{c}$=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3\sqrt{c}$）（$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2\sqrt{b}}$+$\frac{1}{3\sqrt{c}}$）=$\frac{1}{4}$[3+（$\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$+$\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}$）+（$\frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{3\sqrt{c}}$）+（$\frac{3\sqrt{c}}{2\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{b}}{3\sqrt{c}}$）]≥$\frac{1}{4}$（3+2+2+2）=$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{9}$$\sqrt{a}$+$\frac{2}{9}$$\sqrt{b}$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{c}$≥$\frac{1}{4}$．
点评 本题主要考查绝对值不等式的应用以及基本不等式的求解，考查学生的转化和运算能力，综合性较强，有一定的难度．
阳光课堂同步练习系列答案
教材器有介绍：圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y=r2，我们将其结论推广：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，在解本题时可以直接应用．已知，直线x-y+$\sqrt{3}$=0与椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞1）有且只有一个公共点| A． | p∨q | B． | p∧q | C． | ￢p∧q | D． | p∨￢q |
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
已知点列Pn（xn，$\frac{2}{{x}_{n}}$）与An（an，0）满足xn+1＞xn，$\overrightarrow{{{P}_{n}P}_{n+1}}$⊥$\overrightarrow{{{A}_{n}P}_{n+1}}$，且|$\overrightarrow{{{P}_{n}P}_{n+1}}$|=|$\overrightarrow{{{A}_{n}P}_{n+1}}$|，其中n∈N*，x1=1．| A． | 16 | B． | 20 | C． | 25 | D． | 36 |