Question

已知点A（2，0）关于直线l₁：x+y-4=0的对称点为A₁，圆C：（x-m）²+（y-n）²=4（n＞0）经过点A和A₁，且与过点B（0，-2

2

）的直线l₂相切．
（1）求圆C的方程；（2）求直线l₂的方程．

Answer 1

（1）∵点A和A₁均在圆C上且关于直线l₁对称，
∴圆心在直线l₁上，由圆C的方程找出圆心C（m，n），
把圆心坐标直线l₁，点A代入圆C方程得：

m+n=4 (m-2)2+n2=4

，解得

m=2 n=2

或

m=4 n=0

（与n＞0矛盾，舍去），
则圆C的方程为：（x-2）²+（y-2）²=4；
（2）当直线l₂的斜率存在时，
设直线l₂的方程为y=kx-2

2

，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，
根据题意得：圆心到直线的距离d=

|2k-2-2 2 |

k2+1

=r=2，解得k=1，
所以直线l₂的方程为y=x-2

2

；
当直线l₂的斜率不存在时，
易得另一条切线为x=0，
综上，直线l₂的方程为y=x-2

2

或x=0．