Question

15．已知f（x）=ax²+bx，其中-1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f（x）|＞1”是“a+b＞1”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 f（x）=ax²+bx，可得a+b＞1?f（1）＞1．由存在x∈[0，1]，|f（x）|＞1，可得|f（x）|_max＞1．由-1≤a＜0，b＞0，可得函数f（x）的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞0．计算：f（0）=0，f（1）=a+b，$f（-\frac{b}{2a}）$=$\frac{{b}^{2}}{-4a}$＞0．即可判断出结论．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx，∴a+b＞1?f（1）＞1．
∵存在x∈[0，1]，|f（x）|＞1，∴|f（x）|_max＞1．
∵-1≤a＜0，b＞0，∴函数f（x）的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞0．
计算：f（0）=0，f（1）=a+b，$f（-\frac{b}{2a}）$=$\frac{{b}^{2}}{-4a}$＞0．
f（1）＞1，∴b＞1-a，则$f（-\frac{b}{2a}）$=$\frac{{b}^{2}}{-4a}$＞$\frac{|4a|}{-4a}$=1，
反之也成立，若b²＞-4a，则b＞1-a．
∴“存在x∈[0，1]，|f（x）|＞1”是“a+b＞1”的充要条件．
故选：C．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．