Question

已知数列{a_n}为等差数列，其中a₁=1，a₇=13
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和，当不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1，a₇=13，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”可得T_n=

n

2n+1

．数列{b_n}的前n项和，当不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立时，对n分类讨论．①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立，只需不等式λ＜

(2n+1)(n+8)

n

=2n+

8

n

+17恒成立即可，利用基本不等式的性质可得2n+

8

n

的最小值．②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立时，只需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立即可，考察2n-

8

n

的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，a₇=13，
∴1+6d=13，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
数列{b_n}的前n项和，当不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立时，对n分类讨论．
①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立，只需不等式λ＜

(2n+1)(n+8)

n

=2n+

8

n

+17恒成立即可，
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得，∴λ＜25．
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立时，只需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立即可，
∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，
∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6，∴λ＜-21．
综合①②可得：λ的取值范围是（-∞，-21）．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、基本不等式的性质、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．