题目内容

4．经过抛物线y2=2px（p＞0）外一点A（-2，-4）的直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{\;}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R）与抛物线分别交于M1，M2两点，且|AM1|、|M1M2|，|AM2|成等比数列．
（1）把直线l的参数方程化为普通方程；
（2）求p的值及线段M1M2的长度．

分析 （1）将参数方程两式相减即可消参数得到l的普通方程；
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义得出|AM1|、|M1M2|，|AM2|，根据等比数列列出方程解出p．

解答 解：（1）将参数方程两式相减得x-y=2，即x-y-2=0．
∴直线l的普通方程为x-y-2=0．
（2）把：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{\;}\end{array}\right.$（t为参数）代入y2=2px得：t2-2$\sqrt{2}$（4+p）t+8（4+p）=0，
设M1，M2对于的参数分别为t1，t2．则t1+t2=2$\sqrt{2}$（4+p），t1t2=8（4+p）．
∵|AM1|、|M1M2|，|AM2|成等比数列，
∴（t1-t2）2=|t1||t2|=t1t2．
∴（t1+t2）2=5t1t2．即8（4+p）2=40（4+p）．解得p=1或p=-4（舍）．
∴t1t2=40．
∴|M1M2|=|t1-t2|=$\sqrt{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义及应用，属于在中档题．

练习册系列答案
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