Question

正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起，使A、C点重合于A′点．
（1）证明A′D⊥EF；
（2）当BF=

1

4

BC时，求三棱锥A′-EFD的体积．

Answer 1

分析：（1）由正方形的几何牲，我们易得AD⊥AB，DC⊥BC，即折起后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，由线面垂直的判定定理可得，A′D⊥面A′EF，再由线面垂直的性质可得A′D⊥EF；
（2）根据A?E=AE=1，A?F=CF=

3

2

，EF=

5

2

利用勾股定理得出：△A?EF为Rt三角形，∠A?EF=90°，最后利用体积公式即可求三棱锥A′-EFD的体积．

解答：证明：（1）∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
（2）A?E=AE=1，A?F=CF=

3

2

，EF=

5

2

∴A?F²=EF²+A?E²
∴△A?EF为Rt三角形，∠A?EF=90°
∴S_△A?EF=

1

2

×1×

5

2

=

5

4

     
 V_A?-EFD=V_D-A?EF=

1

3

•S_△A?EF•DA?=

5

6

点评：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定和性质，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的之间的相互转化关系，（2）的关键是求得棱锥的高长．