Question

2．已知数列{a_n}的各项都大于1，且a₁=2，a${\;}_{n+1}^{2}$-a_n+1-a${\;}_{n}^{2}$+1=0（n∈N^*）．
（1）求证：$\frac{n+7}{4}$≤a_n＜a_n+1≤n+2；
（2）求证：$\frac{1}{2{a}_{1}^{2}-3}$+$\frac{1}{2{a}_{2}^{2}-3}$+$\frac{1}{2{a}_{3}^{2}-3}$+…+$\frac{1}{2{a}_{n}^{3}-3}$＜1．

Answer 1

分析 （1）由a_n＞1，结合${{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n+1}-{{a}_{n}}^{2}+1=0$，可得a_n+1＞a_n；作差放缩可得a_n+1-a_n＜1，利用迭代法证得a_n+1≤n+2；最后再由作差放缩得到${a}_{n+1}-{a}_{n}＞\frac{1}{4}$，进一步得到${a}_{n}＞2+\frac{n-1}{4}=\frac{n+7}{4}$；
（2）由${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n+1}-1≥\frac{n+8}{4}-1=\frac{n+4}{4}$，得${{a}_{n+1}}^{2}＞\frac{n（n+4+5）}{8}+{{a}_{1}}^{2}=\frac{{n}^{2}+9n+32}{8}$，可得$2{{a}_{n}}^{2}-3≥\frac{{n}^{2}+7n+12}{4}=\frac{（n+3）（n+4）}{4}$，然后利用裂项相消法证得答案．

解答 证明：（1）∵a_n＞1，
由${{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n+1}-{{a}_{n}}^{2}+1=0$，
得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n+1}-1＞0$，即a_n+1＞a_n，
∵${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}＜1$，
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁≤n+2，
${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}＞\frac{{a}_{n+1}-1}{2{a}_{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2{a}_{n+1}}＞\frac{1}{4}$，
∴${a}_{n}＞2+\frac{n-1}{4}=\frac{n+7}{4}$；
（2）由${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n+1}-1≥\frac{n+8}{4}-1=\frac{n+4}{4}$，
∴${（{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}）+（{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}）+…+（{{a}_{2}}^{2}-{{a}_{1}}^{2}）$
$＞\frac{1}{4}[n+（n-1）+…+2+1]+n=\frac{n（n+1）}{8}+n$，
∴${{a}_{n+1}}^{2}＞\frac{{n}^{2}+9n}{8}+{{a}_{1}}^{2}=\frac{{n}^{2}+9n+32}{8}$，
即${{a}_{n}}^{2}≥\frac{{n}^{2}+7n+24}{8}$，
$2{{a}_{n}}^{2}-3≥\frac{{n}^{2}+7n+12}{4}=\frac{（n+3）（n+4）}{4}$，
∴$\frac{1}{2{{a}_{1}}^{2}-3}+\frac{1}{2{{a}_{2}}^{2}-3}+…+\frac{1}{2{{a}_{n}}^{2}-3}$$≤4（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}）$＜1．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用放缩法证明数列不等式，考查学生的逻辑思维能力和推理运算能力，属难题．