题目内容

过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，设切点分别是A，B，若直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，则△MON面积的最小值是______．
设点P（x0，y0），则以|OP|为直径的圆的方程为x2-x0x+y2-y0y=0，
与⊙O的方程x2+y2=b2相减得x0x+y0y=b2，即是过切点A，B的直线方程，（x0y0≠0）．
令x=0，得y=
b2
y0
，∴N(0，
b2
y0
)；令y=0，得x=
b2
x0
，∴M(
b2
x0
，0)．
∴|MN|=
(
b2
x0
)2+(
b2
y0
)2
=
b2
x20
+
y20
|x0y0|
，
点O到直线MN的距离d=
b2
x20
+
y20
，
∴S△OMN=
1
2
d|MN|=
1
2
b4
|x0y0|
，
∵点P在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，
∴a2b2=b2
x20
+a2
y20
≥2ab
x20
y20
=2ab|x0y0|，当且仅当|bx0|=|ay0|时取等号．
∴2|x0y0|≤ab，
∴S△OMN≥
b4
ab
=
b3
a
．
故△MON面积的最小值是
b3
a
．
故答案为
b3
a
．
练习册系列答案
相关题目
过椭圆C：
x2
a
2
 
+
y2
b
2
 
=1(a＞b＞0)的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=90°（O是坐标原点），则椭圆C的离心率为
 
．
精英家教网过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若
1
3
＜k＜
1
2
，则椭圆离心率的取值范围是
 
．
（2003•朝阳区一模）已知：如图，过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点F（-c，0）作垂直于长轴A1A2的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线．
（Ⅰ）求证：直线PA2、A1Q、l共点；
（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（-c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线PA2、A1Q、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由．
（2010•龙岩二模）过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点(-1，
2
2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得|FP|=
1
2
|MN|（其中P为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
精英家教网如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a2上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线x2=4
3
y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）若N(
a2+1
2
，0)为x轴上一点，求证：
AN
=λ
NE
．

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