Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且面积为S，满足S=$\frac{\sqrt{7}}{6}$bccosA
（1）求cosA的值；
（2）若a+c=10，C=2A，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanA的值，结合范围0＜A＜$\frac{π}{2}$，即可求得cosA的值．
（2）由已知及正弦定理可求c=$\frac{3}{2}$a，进而可求a，c的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式求得sinA，sinC，sinB的值，由正弦定理即可求得b的值．

解答 解：（1）∵S=$\frac{\sqrt{7}}{6}$bccosA=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{3}{4}$，
（2）由正弦定理可知，$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}=\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA=$\frac{3}{2}$，可得：c=$\frac{3}{2}$a，
∵a+c=10，
∴a=4，c=6，
∵cosA=$\frac{3}{4}$，可得：sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sinC=sin2A=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，cosC=cos2A=$\frac{1}{8}$，
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
由正弦定理b=$\frac{asinB}{sinA}$=5．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．