Question

17．命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅；命题q：函数y=（2a²-a）^x为增函数．命题r：a满足$\frac{2a-1}{a-2}≤1$．
（1）若p∨q是真命题且p∧q是假题．求实数a的取值范围．
（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．

Answer 1

分析 （1）利用判别式△＜0求出p为真时a的取值范围，根据指数函数的图象与性质求出q为真时a的取值范围；由p∨q是真命题且p∧q是假命题知p、q一真一假，由此求出a的范围；
（2）解不等式$\frac{2a-1}{a-2}≤1$得出命题r为真时a的取值范围，根据集合的包含关系判断命题?p是命题r成立的充分不必要条件．

解答 解：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，
∴△=（a-1）²-4a²＜0，
即3a²+2a-1＞0，
解得a＜-1或a＞$\frac{1}{3}$，
∴p为真时a＜-1或a＞$\frac{1}{3}$；
又函数y=（2a²-a）^x为增函数，
∴2a²-a＞1，
即2a²-a-1＞0，
解得a＜-$\frac{1}{2}$或a＞1，
∴q为真时a＜-$\frac{1}{2}$或a＞1；
（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，
∴当P假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a＜-\frac{1}{2}或a＞1}\end{array}\right.$，即-1≤a＜-$\frac{1}{2}$；
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞\frac{1}{3}}\\{-\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{3}$＜a≤1；
∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是-1≤a＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$＜a≤1；
（2）∵$\frac{2a-1}{a-2}≤1$，
∴$\frac{2a-1}{a-2}$-1≤0，
即$\frac{a+1}{a-2}≤0$，
解得-1≤a＜2，
∴a∈[-1，2），
∵?p为真时-1≤a≤$\frac{1}{3}$，
由[-1，$\frac{1}{3}$）是[-1，2）的真子集，
∴?p⇒r，且r≠＞?p，
∴命题?p是命题r成立的一个充分不必要条件．

点评 本题考查了复合命题的真假性问题，也考查了不等式与函数的应用问题，是综合题．