Question

在二项式（

1

2

+2x）ⁿ的展开式中，若前三项的二项式系数和等于79，（1）求展开式中二项式系数最大的项？（2）求展开式中系数最大的项是第几项？

Answer 1

分析：（1）二项式（

1

2

+2x）ⁿ的展开式中，若前三项的二项式系数和等于79，可利用此关系建立方程求出n的值，再由二项式系数的性质求出系数最大的项．
（2）展开式中系数最大的项满足

C k 12 ×4k≥ C k-1 12 ×4k-1 C k 12 ×4k≤ c k+1 12 ×4k+1

，解这个不等式组求出参数k的取值范围，判断出系数最大时k的值即可得出系数最大的项．

解答：解：（1）C_n⁰+C_n¹+C_n²+=79，
∴n²+n-156=0=0
∴n=12，
T₇=

C

6 12

×(

1

2

)6×(2x)6=924x⁶
∴展开式中二项式系数最大的项为924x⁶
（2）设T_k+1项系数最大，由(

1

2

+2x)12=(

1

2

)12×(1+4x)12
∴

C k 12 ×4k≥ C k-1 12 ×4k-1 C k 12 ×4k≤ c k+1 12 ×4k+1

∴9.4＜k＜10.4，∴k=10 所以系数最大的项是第11项．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是理解二项式系数最大的项与系数最大的项，根据二项式定理建立起方程或不等式，求解问题，二项式中系数最大的项的求法就是比较相邻的项，题后注意总结这个方法．