Question

我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，发现敌舰正离开A岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，我舰要用2小时的时间追赶敌舰，设图中的C处是我舰追上敌舰的地点，且已知AB距离为12海里．
（1）求我舰追赶敌舰的速度；
（2）求∠ABC的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，利用余弦定理求BC，即可求我舰追赶敌舰的速度；
（2）在△ABC中，利用正弦定理，即可求∠ABC的正弦值．

解答：解：（1）在△ABC中，由已知，AC=10×2=20（海里），AB=12（海里），∠BAC=180°-50°-10°=120°．…（1分）
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos 120°=784，…（4分）
∴BC=28海里，…（5分）
∴v=14海里/小时． …（6分）
（2）在△ABC中，根据正弦定理，得

AC

sin∠ABC

=

BC

sin∠BAC

…（9分）
所以sin∠ABC=

ACsin∠BAC

BC

=

20sin120°

28

=

5 3

14

．…（11分）
故∠ABC的正弦值是

5 3

14

．…（12分）

点评：本题考查余弦定理，考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．