Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），已知点P在直线BC₁上运动．则下列四个命题：
①三棱锥A-D₁BC的体积不变；
②直线AP与平面ACD₁所成的角的大小不变；
③二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁内到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD₁
其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析 利用体积公式判断①，利用向量计算夹角判断②，根据二面角的定义判断③，利用全等判断④．

解答 解：对于①，显然三棱锥A-D₁BC体积与P点位置无关，故①正确；
对于②，以D₁为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，-1）为平面ACD₁的法向量，
而$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，-1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{D{B}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{D{B}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB，AC₁与平面ACD₁所成的角不相等，即当p在直线BC₁上运动时，AP平面ACD₁所成的角会发生变化，故②错误；
对于③，当P位置变化时，平面PAD₁的位置不发生变化，故二面角P-AD₁-C的大小不变，故③正确；
对于④，设Q为直线A₁D₁上任意一点，则Rt△QDD₁≌Rt△QC₁D₁，
∴QD=QC₁，
∴M的轨迹为直线AD₁，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，空间线面位置关系的判断，属于中档题．