Question

20．给出下列四个命题：
①若$\overrightarrow{p}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共面；   
②若$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共面，则$\overrightarrow{p}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$．
③若$\overrightarrow{MP}$=x$\overrightarrow{MA}$+y$\overrightarrow{MB}$，则P，M，A、B共面；
其中真命题的序号是①③．

Answer 1

分析 由平面向量基本定理判断①；举例说明②错误；由$\overrightarrow{MP}$=x$\overrightarrow{MA}$+y$\overrightarrow{MB}$，得$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$共面，即可得四点 P、M、A、B共面判断③．

解答 解：①若$\overrightarrow{p}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，则由平面向量基本定理得$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$共面，故①正确；
②若$\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共面，则$\overrightarrow{p}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$不一定成立，如$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都是零向量，而$\overrightarrow{p}$为非零向量时，此等式不成立；
③若$\overrightarrow{MP}$=x$\overrightarrow{MA}$+y$\overrightarrow{MB}$，则$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$共面，∴四点 P、M、A、B共面，故③正确．
∴真命题的序号是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查向量共线的基本概念，是中档题．