Question

15．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（4）=3．
（1）求f（x）的解析式；   
（2）若f（x）在区间[2a，3a+1]上单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，得出函数f（x）的对称轴和顶点坐标，设出f（x）解析式求出a的值即可；   
（2）根据二次函数在对称轴的同侧单调性相同，得出关于a的不等式，求解即可．

解答 解：（1）根据题意，二次函数f（x）的对称轴为x=$\frac{0+4}{2}$=2，
顶点坐标为（2，1）；
设函数f（x）=a（x-2）²+1，
则f（0）=a×（-2）²+1=3，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2）²+1；   
（2）二次函数f（x）的对称轴是x=2，
在对称轴的同侧，f（x）单调性相同，
当f（x）在区间[2a，3a+1]上单调时，
2a≥2或3a+1≤2，
解得a≥1或a≤$\frac{1}{3}$，
所以a的取值范围是a≤$\frac{1}{3}$或a≥1．

点评 本题考查了求二次函数的解析式与应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题．