Question

17．如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AC，CC₁的中点，$AB=BC=A{A_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AC$．
（1）证明：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角D-A₁B-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接B₁A与A₁B交于点F，连接DF，只需证明DF∥B₁C即可，
（2）以点B为坐标原点建立空间坐标系，求出两个面的法向量即可．

解答 解：（Ⅰ）连接B₁A与A₁B交于点F，连接DF
因为AA₁B₁B为平行四边形，
所以F为AB₁的中点，又D为AC的中点，
所以DF∥B₁C，
因为DF?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD
所以B₁C∥平面A₁BD
（2）∵$AB=BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AC$，
所以AB²+BC²=AC²
所以AB⊥BC，
又因为BB₁⊥底面ABC，
所以以点B为坐标原点建立空间坐标系如图所示

设AB=BC=AA₁=1，则$AC=\sqrt{2}$
所以B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），$D（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0），E（1，0，\frac{1}{2}），{A_1}（0，1，1）$
设平面A₁BD的法向量是$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，$\overrightarrow{B{A_1}}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{BD}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{B{A_1}}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BD}=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{z_1}=0\\ \frac{1}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}=0\end{array}\right.$
令x₁=1，得y₁=-1，z₁=1，
所以$\overrightarrow m=（1，-1，1）$，
设平面A₁BE的法向量是$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，$\overrightarrow{B{A_1}}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{BE}=（1，0，\frac{1}{2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{B{A_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{y_2}+{z_2}=0\\{x_2}+\frac{1}{2}{z_2}=0\end{array}\right.$
令x₂=1，得y₁=2，z₂=-2，
所以$\overrightarrow n=（1，2，-2）$
设二面角D-A₁B-E的平面角为θ，则$cosθ=cos（π-＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞）=-cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=-\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=-\frac{1-2-2}{{\sqrt{3}•\sqrt{9}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
所以二面角D-A₁B-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系，空间向量的应用．属于中档题．