Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求α的值；
（2）若两个向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$垂直，求tanα．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，根据向量共线的坐标公式建立方程关系即可求α的值；
（2）若两个向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$垂直，转化为（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$）=0，利用向量数量积的坐标公式建立方程即可求tanα．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则-$\frac{1}{2}$sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα．
即tanα=-$\sqrt{3}$，
∵0≤α＜2π，∴α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{5π}{3}$；
（2）若两个向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$垂直，
则（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$）=0，
即$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$²=0，
$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{b}$²=0，
即$\sqrt{3}$-2（$-\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）-$\sqrt{3}$=0，
整理得$-\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{1}{2}$cosα，
则tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查向量平行和垂直的应用，根据相应的坐标公式结合向量数量的和向量垂直的关系建立方程是解决本题的关键．