Question

16．已知点A是圆O：x²+y²=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$|，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=4．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$|⇒（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$）²=（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$）²⇒$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，∴AO⊥BO，
∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，即可求$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{AB}$|cos45°．

解答 解：由|$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$|⇒（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$）²=（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$）²⇒$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，∴AO⊥BO，
∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{AB}$|cos45°=2×$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=4．
故答案为：4

点评 本题考查了向量的平方即为模的平方，考向量数量积的运算，属于中档题