Question

5．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a，且a_n+1=k（a_n+a_n+2）对任意正整数都成立，数列{a_n}的前n项和为S_n
（1）若k=$\frac{1}{2}$且S₂₀₁₇=2017a，求a
（2）是否存在实数k，使数列{a_n}是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a_m，a_m+1，a_m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的k值；若不存在，请说明理由；
（3）若k=-$\frac{1}{2}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）k=$\frac{1}{2}$时，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，即可证明数列{a_n}是等差数列．再利用通项公式与求和公式即可得出．
（2）设数列{a_n}是公比不为1的等比数列，公比q=a．可得a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1．通过分类讨论，利用等差中项与等比数列的通项公式即可得出．
（3）$k=-\frac{1}{2}$，则a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n），即可得出．当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n），即可得出．

解答 解：（1）k=$\frac{1}{2}$时，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，∴数列{a_n}是等差数列．
a₁=1，公差d=a₂-a₁=a-1．
S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$（a-1），∴2017a=2017+$\frac{2017×2016}{2}$（a-1），解得a=1．
（2）设数列{a_n}是公比不为1的等比数列，公比q=a．
∴a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1．
①若a_m+1为等差中项，则2a_m+1=a_m+a_m+2，即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得a=1，不合题意，舍去．
②若a_m为等差中项，则2a_m=a_m+1+a_m+2，即2a^m-1=a^m+a^m+1，化简a²+a-2=0，解得a=-2，或1（舍去）．
k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$．
③若a_m+2为等差中项，则2a_m+2=a_m+a_m+1，即2a^m+1=a^m-1+a^m，化简2a²-a-1=0，解得a=-$\frac{1}{2}$，或1（舍去）．
k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$．
综上可得：k=-$\frac{2}{5}$．
（3）$k=-\frac{1}{2}$，则a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=$\frac{n}{2}$（a₁+a₂）=$\frac{n}{2}（a+1）$．
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）
=a₁+$\frac{n-1}{2}$（a₂+a₃）=a₁+$\frac{n-1}{2}[-（{a}_{1}+{a}_{2}）]$=1-$\frac{a-1}{2}$（a+1），n=1时也适合．
综上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{n-1}{2}（a+1），n为奇数}\\{\frac{n}{2}（a+1），n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查推理能力与计算能力，属于难题．