Question

已知函数f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），ω＞0，若f（x）的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于π．
（1）求ω的取值范围；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=

3

，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据f（x）的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于π，得到周期的一半大于等于π，利用周期公式即可求出ω的取值范围；
（2）把ω的最大值代入f（A）=1，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把A的度数代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意知f（x）=

m

•

n

=cos²ωx-sin²ωx+

3

sin2ωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
∵

T

2

=

1

2

×

2π

2ω

≥π，ω＞0，
∴0＜ω≤

1

2

；
（2）由（1）知ω_max=

1

2

，f（A）=2sin（A+

π

6

）=1，即sin（A+

π

6

）=

1

2

，
又∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

5π

6

，即A=

2π

3

，
由余弦定理得a²=3=b²+c²+2bc×

1

2

≥3bc，即bc≤1．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．