Question

12．函数f（x）=x²+bx的图象在点A（2，f（2））处的切线与直线x+6y+1=0垂直，若数列|$\frac{1}{f（n）}$|的前n项和为S_n，则满足S_n＞$\frac{5}{12}$的最小正整数的是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知列式求得b值，得到函数解析式，然后利用裂项相消法求出数列|$\frac{1}{f（n）}$|的前n项和为S_n，再由S_n＞$\frac{5}{12}$变形整理得到满足S_n＞$\frac{5}{12}$的最小正整数．

解答 解：f（x）=x²+bx，得f′（x）=2x+b，
则k=f′（2）=2×2+b=4+b=6，得b=2．
则f（x）=x²+2x，∴f（n）=n²+bn，
${a}_{n}=|\frac{1}{f（n）}|=\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2{n}^{2}+6n+4}$＞$\frac{5}{12}$，
化简得：2n²-5＞0．
满足这个不等式的最小正整数为2．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了裂项相消法求数列的和，考查数列不等式的解法，是中档题．