Question

7．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=6n-{n^2}$，则数列 $\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前20项和等于$-\frac{4}{35}$．

Answer 1

分析 利用数列递推关系、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵${S_n}=6n-{n^2}$，
∴a₁=S₁=5；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n-n²-[6（n-1）-（n-1）²]=7-2n．n=1时也成立．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（7-2n）（5-2n）}$=-$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-7}）$．
∴数列 $\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前20项和=-$\frac{1}{2}[（-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+$（-1-\frac{1}{-3}）$+$（1-\frac{1}{-1}）$+…+$（\frac{1}{35}-\frac{1}{33}）]$
=-$\frac{1}{2}（\frac{1}{5}+\frac{1}{35}）$
故答案为：-$\frac{4}{35}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．