Question

13．设正整数数列{a_n}满足a₂=4，且对?n∈N^*有：a_n（2a_n+1+1）＜n（n+1）（a_n+a_n+1）＜a_n+1（2a_n+1）
（1）求a₁，a₃；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由条件可令n=1，2，代入，化简整理，结合a_n为正整数，计算即可得到所求；
（2）猜想：a_n=n²（n∈N^*）．运用数学归纳法证明，注意由n=k命题成立，证明n=k+1也成立，运用解不等式，化简整理可得$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•（k+1）²＜a_k+1＜（k+1）²+$\frac{1}{k-1}$，即可得证．

解答 解：（1）对?n∈N^*有：a_n（2a_n+1+1）＜n（n+1）（a_n+a_n+1）＜a_n+1（2a_n+1），
当n=1时，a₁（2a₂+1）＜2（a₁+a₂）＜a₂（2a₁+1），
由a₂=4，可得9a₁＜2（a₁+4）＜4（2a₁+1），
即有$\frac{2}{3}$＜a₁＜$\frac{8}{7}$，可得a₁=1；
同理可得，当n=2时，有8＜a₃＜10，
可得a₃=9；
（2）猜想：a_n=n²（n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，由（1）可得a₁=1成立；
假设n=k（k∈N^*），有a_k=k²．
当n=k+1时，由a_k（2a_k+1+1）＜k（k+1）（a_k+a_k+1）＜a_k+1（2a_k+1），
即2k²a_k+1+k²＜k（k+1）（k²+a_k+1）＜a_k+1（2k²+1），
当k=1时，上式显然成立；
则k＞1时，可得$\frac{{k}^{2}（k+1）}{{k}^{2}-k+1}$＜a_k+1＜$\frac{k（{k}^{2}+k-1）}{k-1}$，
即有$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•（k+1）²＜a_k+1＜（k+1）²+$\frac{1}{k-1}$，
由0＜$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$＜1，$\frac{1}{k-1}$＞0，
可得a_k+1=（k+1）²，
则n=k+1时，a_k+1=（k+1）²也成立．
综上可得，a_n=n²对?n∈N^*都成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用猜想和数学归纳法证明，考查化简整理和推理能力，属于中档题．