Question

在△ABC中，已知2B=A+C，b=1，求a+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：由题意和内角和定理求出B，并求出A、C的关系式，利用正弦定理用角的正弦表示a，c，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质求出a+c的取值范围．

解答： 解：由题意知，△ABC中，2B=A+C，
因为A+B+C=π，所以B=

π

3

，
则A+C=π-

π

3

=

2π

3

，C=

2π

3

-A，所以0＜A＜

2π

3

，
又b=1，由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

1

sin π 3

=

2 3

3

，
所以a=

2 3

3

sinA，c=

2 3

3

sinC，
则a+c=

2 3

3

（sinA+sinC）=

2 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

2 3

3

（sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

2 3

3

（

3

2

sinA+

3

2

cosA）
=2sin(A+

π

6

)，
由0＜A＜

2π

3

得，

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，则

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，
即1＜2sin(A+

π

6

)≤2，
所以a+c的取值范围是（1，2]．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，利用条件将a+c转化为三角函数是解决本题的关键，要求熟练掌握公式．