Question

2．如图，已知P（x₀，y₀）是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1上一点，过原点的斜率分别为k₁，k₂的两条直线与圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{4}{5}$分别相切于A，B两点．
（1）若椭圆离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，可得a=2，即可求椭圆的标准方程；
（2）推导出k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的两根，由此能利用韦达定理能求出k₁k₂值．

解答 解：（1）由题意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，∴a=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由圆P与直线OA：y=k₁x相切，
可得$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即（4-5x₀²）k₁²+10x₀y₀k₁+4-5y₀²=0，
同理，（4-5x₀²）k₂²+10x₀y₀k₂+4-5y₀²=0，
即有k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的两根，
可得k₁k₂=$\frac{4-5{{y}_{0}}^{2}}{4-5{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{-1+\frac{5}{4}{{x}_{0}}^{2}}{4-4{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．