题目内容
（2012湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
| 一次购物量 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
| 顾客数(人) |
| 30 | 25 |
| 10 |
| 结算时间(分钟/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;
(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率.
(注:将频率视为概率)
【解析】(1)由已知,得
所以
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得
的分布为
| X | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| P |
|
|
|
|
|
X的数学期望为
.
(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,
为该顾客前面第
位顾客的结算时间,则
.
由于顾客的结算相互独立,且
的分布列都与X的分布列相同,所以
.
故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为
.
【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知 
从而解得
,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率.
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