Question

1．已知过点P（-2，1）的直线被椭圆x²+2y²=8截得的弦AB的中点恰好为P，求弦AB的长．

Answer 1

分析 由题意作图象，设直线AB的方程为y-1=k（x+2），从而联立方程化简可得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+2（2k+1）²-8=0，从而可得x₁+x₂=-$\frac{4k（2k+1）}{1+2{k}^{2}}$=-4，从而解得k=1；从而代入再求解即可．

解答 解：由题意作图象如下，

设直线AB的方程为y-1=k（x+2），
联立方程组可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=kx+2k+1}\end{array}\right.$，
化简可得：（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+2（2k+1）²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
则x₁+x₂=-$\frac{4k（2k+1）}{1+2{k}^{2}}$，
∵弦AB的中点恰好为P，
∴-$\frac{4k（2k+1）}{1+2{k}^{2}}$=-4，
解得，k=1；
故方程可化为3x²+12x+10=0，
故x₁+x₂=-4，x₁x₂=$\frac{10}{3}$，
故|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4×\frac{10}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及数形结合的思想应用．