Question

19．已知函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（2cosx，\sqrt{3}sin2x）$，$\overrightarrow b=（cosx，1）$，x∈R．
（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，$a=\sqrt{7}$，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和与差化简函数的解析式，通过正弦函数的单调区间求解即可．
（2）利用（1）函数的解析式求出A，然后利用余弦定理转化求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
函数y=f（x）的单调递增区间是$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]$（k∈Z）．
（2）∵f（A）=2，∴$2sin（2A+\frac{π}{6}）+1=2$，即$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$，
∵$a=\sqrt{7}$，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7，①
∵sinB=2sinC，∴b=2c，②由①②得${c^2}=\frac{7}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题考查余弦定理以及向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．