已知命题:①函数y=2x的值域是$[\frac{1}{2}.2]$,②为了得到函数$y=sin$的图象.只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度,③当n=0或n=1时.幂函数y=xn的图象都是一条直线,④已知函数f(x)=|log2x|.若a≠b.且f.则ab=1．其中正确的命题是( )A．①③B．①④C．①③④D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知命题：
①函数y=2^x（-1≤x≤1）的值域是$[\frac{1}{2}，2]$；
②为了得到函数$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度；
③当n=0或n=1时，幂函数y=xⁿ的图象都是一条直线；
④已知函数f（x）=|log₂x|，若a≠b，且f（a）=f（b），则ab=1．
其中正确的命题是（　　）

A．

①③

B．

①④

C．

①③④

D．

①②③④

分析 ①根据指数函数的单调性进行判断．
②根据三角函数的图象关系进行判断．
③根据幂函数的定义和性质进行判断．
④根据函数与方程的关系，利用对数函数的性质进行运算判断．

解答解：①∵y=2^x是增函数，∴当-1≤x≤1时，函数的值域是[$\frac{1}{2}$，2]；故①正确，
②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，则y=sin2（x-$\frac{π}{3}$）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$，则无法得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，故②错误，
③当n=0时，y=x⁰=1，（x≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x的图象都是一条直线；故③错误，
④∵f（x）=|log₂x|，f（a）=f（b），
∴不妨设a＜b，则0＜a＜1，b＞1，
则-log₂a=log₂b，
即log₂a+log₂b=0，
即ab=1，故④正确，
故选：B．